По данным пресс-службы Министерства здравоохранения, Асылбеков родился 24 июня 1966 года.
В 1990 году окончил филиал Алматинского государственного медицинского института в Шымкенте; в 2003 году – Южно-Казахстанский гуманитарный институт им. М. Сапарбаева; в 2006 году – Южно-Казахстанский государственный институт им. М. Ауэзова по специальности "Провизор", "Юрист", "Экономист".
Начал трудовую деятельность в 2000 году провизором-технологом и главным специалистом в АО "Фармация" Сузакского района.
С 2002 по 2020 год – возглавлял управления и департаменты Комитета фармацевтического контроля МЗ РК по Южно-Казахстанской, Алматинской областях, Алматы и Астане.
С 2007 по 2009 год – работал руководителем отдела в Министерстве здравоохранения.
Затем в разные годы занимал должности заместителя председателя в Комитете по защите прав потребителей Астаны, Комитете фармации Министерства здравоохранения, Комитете контроля качества и безопасности товаров и услуг. Также работал советником генерального директора Национального центра экспертизы лекарственных средств и медицинских изделий МЗ РК.
На "СК-Фармацию" возложены функции единого оператора по закупу и поставке лекарств для медорганизаций в рамках гарантированного объема бесплатной медицинской помощи и социального медицинского страхования.
Примечательно, но в начале 2025 года в Агентстве по защите и развитию конкуренции (АЗРК) указали на недостаточную прозрачность процедур в деятельности ТОО "СК-Фармация", что способствует увеличению расходов на закупки медикаментов. Прибыль компании формируется за счет наценки от 5% до 7%, что, по мнению экспертов, снижает ее заинтересованность в ценовой конкуренции.