Алексей Бегак родился 10 марта 1960 года в Москве. Окончил Московский государственный художественный институт им. Сурикова. Работал иллюстратором и дизайнером книг в издательствах Москвы. Он оформил в числе прочих книги о Хемингуэе, Пастернаке и Конан Дойле.
В 2014-м году художник был соведущим третьего сезона проекта «Большая опера», в 2017-м вел интеллектуальную игру «Гений».