Галымжан Елеуов родился в 1978 году в городе Актобе, образование высшее, кандидат медицинских наук, ассоциированный профессор.
В 2001 году окончил Западно-Казахстанскую государственную медицинскую академию им. Марата Оспанова, в 2008 году – Казахскую государственную юридическую академию в г. Астана, в 2011 году – Высшую школу бизнеса Назарбаев Университета.
Трудовую деятельность начал врачом Актюбинской городской поликлиники, позже был заместителем главного врача данного медучреждения.
С 2010 по 2021 год работал директором частных реабилитационных медицинских центров г. Актобе, г. Астана.
С января 2021 года являлся депутатом Мажилиса Парламента Республики Казахстан 7, 8 созывов.
31 августа стало известно, что депутат Мажилиса Галымжан Елеуов сложил полномочия.
Ранее сообщалось, что Елеуов на пленарном заседании палаты 27 июня раскритиковал работу некоторых реабилитационных центров.